Das arithmetische Mittel, von vielen auch als Durchschnitt bezeichnet, ist eine im normalen Alltag häufig verwendete Zahl. Lehrer verwenden es, um Noten zu berechnen, Arbeiter verwenden es, um die durchschnittliche Menge zu bestimmen, die sie jeden Monat nach Hause bringen, und Meteorologen können es verwenden, um die durchschnittliche Tagestemperatur für einen Monat zu messen. Einfach ausgedrückt ist der Mittelwert einfach die Gesamtmenge einer Reihe von Zahlen dividiert durch die Anzahl der verwendeten Werte. Die Berechnung des Mittelwerts ist selbst bei einer großen Anzahl von Werten nicht schwierig.
Grundlegende Mittelwertberechnung
Die grundlegende Berechnung des Mittelwertes beinhaltet das Sammeln einer Reihe von Zahlen, sei es eine Sammlung von Testergebnissen oder die Zeit, die benötigt wird, um an verschiedenen Tagen der Woche von einem Stadtrand zum anderen zu gelangen. Sobald die Zahlen addiert sind, werden sie mit der Anzahl der angegebenen Werte multipliziert. Für Reisezeiten während der Arbeitswoche sollten die Personen fünf separate Werte finden, d. h. fünf ist die Zahl, durch die die Gesamtsumme geteilt wird. Mathematisch ist der Mittelwert = (a+b+c...)/(Gesamtzahl der Einträge).
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Grundlegendes mittleres Beispielproblem
Den Durchschnitt oder Mittelwert einer Gruppe von Zahlen zu finden, ist einfach. Hier ist eine Gruppe von Zahlen: 15, 31, 39, 50, 32, 42. Was ist der Durchschnitt dieser Zahlensammlung? Der erste Schritt besteht darin, die Anzahl der Werte zu zählen. Es gibt sechs Zahlen, also ist sechs die Zahl am unteren Rand einer Divisionsaufgabe. Fügen Sie nun die Werte zusammen.
15 + 31 + 39 + 50 + 33 + 42 = 210
Nach der Divisionsformel sollten die Schüler also erkennen, dass 210 die Summe aller addierten Zahlen darstellt (der oberste Wert der Formel). Einfügen der Zahlen:
210/6 = 35
Der Durchschnittswert dieser sechs Zahlen beträgt 35.
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Manipulieren von Zahlen, um den Mittelwert zu lösen
In einigen Fällen ist es möglich, die Berechnung zu vereinfachen. Nehmen Sie die folgenden Zahlen als Beispiel: 20, 40, 30, 50. Es ist möglich, alle Zahlen zu addieren und durch 4 (die Anzahl der vorhandenen Werte) zu dividieren. Es ist jedoch auch möglich, den gesunden Menschenverstand zu verwenden, um den erforderlichen Rechenaufwand zu verringern. Es ist leicht, den Durchschnitt von 20 und 40 (A) herauszufinden:
A. (20 +40) / 2 = 60/2 = 30
Und dann den Durchschnitt zwischen 30 und 50 berechnen (B):
B. (30 +50) / 2 = 80/2 = 40
Dann berechnen wir den Durchschnitt zwischen diesen beiden Antworten A und B:
(30 + 40) / 2 = 70/2 = 35.
Daher ist der Durchschnitt der vier angegebenen Zahlen 35. Wenn Sie die Formel befolgen, erhalten Sie die gleiche Antwort, aber die Schüler benötigen möglicherweise einen Taschenrechner:
(20 + 30 + 40 + 50) / 4 = 140/4 = 35
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Runden und exakt sein
Es ist in den meisten Fällen ungewöhnlich, dass eine durchschnittliche oder mittlere Zahl eine ganze Zahl ist. Der Durchschnitt hat oft einen Rest oder eine Dezimalkomponente. Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Menge von Zahlen: 40, 35, 28, 24. Die Berechnung des Mittelwerts umfasst das Addieren der Zahlen der Menge (40+35+28) und das Teilen durch 3 (die Gesamtzahl der Menge).
(42 + 36 + 28) / 3 = 103/3 = 34,33333333333
In diesem Fall sollten die Schüler die Zahl wie von den Lehrern gefordert runden. Oft werden sie aufgefordert, auf die nächste ganze Zahl zu runden. In diesem Fall beträgt der Durchschnitt/Mittelwert dieser Zahlenmenge 34.
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Verwenden einer Häufigkeitstabelle
Häufigkeitstabellen werden verwendet, wenn der Mittelwert einer großen Anzahl von Werten berechnet wird. Dies ist besonders nützlich, wenn sich Zahlen wiederholen. Stellen Sie sich vor, eine Klasse hat zehn Schüler, die dieselbe Prüfung ablegen. Die einzig möglichen Punktzahlen sind 10, 20 und 30. Es wäre schwierig, zehn separate Punktzahlen zu addieren, um den Durchschnitt zu ermitteln. Stattdessen können die Schüler die sich wiederholenden Werte verwenden, um das Problem zu vereinfachen. Zum Beispiel erhalten 3 Schüler eine Punktzahl von 10, 6 Schüler eine Punktzahl von 20 und 1 eine 30. So würde das Problem aussehen:
(10 x 3 ) + (20 x 6) + (30 x 1 ) = 30 + 120 + 30 = 180
Wenn diese Zahl als Gesamtzahl verwendet wird, kann sie durch 10 geteilt werden (die Gesamtzahl der Schüler, die den Test absolvieren):
180/10 = 18
Daher beträgt der Mittelwert aller Schüler 18.
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Zusammenhang zwischen Mittelwert, Median und Modus
Mittelschüler arbeiten oft gleichzeitig mit Mittelwert, Median und Modus. Dies liegt daran, dass die drei Konzepte ineinandergreifen und tatsächlich alle als „Durchschnittswerte“ betrachtet werden. Sie alle haben mit Zahlengruppen zu tun. Der Mittelwert ist der Durchschnitt aller zusammengezählten Zahlen; der Median ist der mittlere Wert der Zahlen (wenn er vom niedrigsten zum höchsten geschrieben wird, ist es die 'mittlere' Zahl. Der Modus ist der Zahlenwert, der am häufigsten vorkommt. Einige Sets haben keinen Modus.
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Der Mittelwert negativer Zahlen
Das Ermitteln des Mittelwertes einer Reihe von Zahlen kann kompliziert sein, wenn eine der Zahlen negativ ist. Die Schritte zum Auflösen nach dem Mittelwert sind jedoch die gleichen, als ob alle Zahlen positiv wären. Die Schüler sollen die Zahlen addieren und durch die Gesamtzahl der Werte dividieren. Der folgende Satz von fünf Zahlen enthält beispielsweise sowohl negative als auch positive Werte:
(-4, 2, 6, -1, 7)
Addiert man diese Zahlen zusammen ergibt sich folgendes:
-4 + 2 + 6 + -1 + 7 = 10
Teilen Sie nun dieses Ergebnis durch die Anzahl der Werte in der Menge (5):
10/5 = 2
Der Mittelwert dieser Zahlenreihe ist 2.
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Finanzielle Verwendung für den Mittelwert
Diejenigen, die mit einem Budget arbeiten, werden es zu schätzen wissen, wie man den Mittelwert findet, da es helfen kann, zu bestimmen, wie viel Geld ihre Telefonrechnung pro Monat ausmacht oder was sie normalerweise für Lebensmittel ausgeben. Angenommen, eine vierköpfige Familie möchte nach Myrtle Beach und plant, Geld zu sparen, indem sie Gelder für Auswärtsessen verwendet. Ein Hotel für drei Nächte kostet 500 Dollar. Anhand der Quittungen der letzten drei Monate stellen sie fest, dass sie 137, 95 und 267 US-Dollar für das Essen ausgegeben haben. Wie viele Monate werden sie brauchen, um das Geld für das Hotel zu sparen?
Nehmen Sie zum Lösen die drei Werte und addieren Sie:
137 + 95 + 267 = 499
Dividiere durch die Anzahl der Werte (3) = 499 / 3 = 166,33333 oder 166 $. Mit diesem Durchschnitt braucht die Familie 0/6 = 3 oder 3 Monate, um Geld für einen Urlaub zu sparen.
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Einen Mord mit den Mitteln aufklären
Es mag ungewöhnlich sein, einen Weg zu finden, um einen Mord aufzuklären, aber es wurde in echten Kriminalfällen getan. Es ist besonders nützlich, das Alibi eines Verdächtigen zu testen. Stellen Sie sich vor, ein Verdächtiger behauptet, Besorgungen in der ganzen Stadt gemacht zu haben, während die Polizei glaubt, dass eine Person getötet wurde. Sie können ihre Zeitleiste den größten Teil des Tages nachweisen, haben jedoch ein 45-Minuten-Fenster, in dem sie nicht nachweisen können, wo sie sich befanden. Detektive können die Route von dem Ort, an dem sie angeblich gewesen sind, zum Tatort fahren. Um wissenschaftlich genau zu sein, fahren sie unterschiedliche Strecken zu unterschiedlichen Zeiten und nehmen dann den Durchschnitt der unterschiedlichen Fahrzeiten. Wenn der Durchschnitt der aufgenommenen Zeiten weniger als 45 Minuten beträgt, könnte der Verdächtige den Mord begangen haben.
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Andere Arten von Mitteln
Während am häufigsten auf das arithmetische Mittel Bezug genommen wird, können andere Mittel von Menschen verwendet werden, um statistische Mittelwerte zu bestimmen. Ein geometrischer Mittelwert wird von Anlegern häufig verwendet, um ihre Kapitalrendite zu berechnen. Er wird mit Logarithmen berechnet und liefert ein genaueres Ergebnis als der traditionelle Durchschnitt. Der harmonische Mittelwert kann verwendet werden, um Geschwindigkeiten oder andere Messungen zu vergleichen, die eine Einheitsmessung beinhalten, und ermöglicht es Benutzern, Anomalien in den Messungen auszuschließen, wie z. B. eine niedrige Punktzahl in einer Gruppe von Testteilnehmern. Auch hier wird die Genauigkeit der Messung erhöht. Die Schüler verwenden Kehrwerte, um das harmonische Mittel zu berechnen.
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